Lập luận tất yếu cho chủ nghĩa hiện thực

Lập luận này, liên quan đến Willard Quine và Hilary Putnam, được Stephen Yablo coi là một trong những lập luận thách thức nhất ủng hộ sự chấp nhận sự tồn tại của các thực thể toán học trừu tượng, như số và tập hợp.[29] Hình thức của lập luận như sau.

1. Người ta phải có bản thể cam kết cho tất cả các thực thể không thể thiếu cho các lý thuyết khoa học tốt nhất, và để chỉ những thực thể (thường được gọi là "tất cả và chỉ").
2. Các thực thể toán học là không thể thiếu đối với các lý thuyết khoa học tốt nhất. Vì thế,
3. Người ta phải có các cam kết bản thể đối với các thực thể toán học.[30]

Sự biện minh cho tiền đề đầu tiên là tranh cãi nhất. Cả Putnam và Quine đều viện dẫn chủ nghĩa tự nhiên để biện minh cho việc loại trừ tất cả các thực thể phi khoa học, và do đó để bảo vệ phần "duy nhất" của "tất cả và duy nhất". Sự khẳng định rằng "tất cả" các thực thể được đưa ra trong các lý thuyết khoa học, bao gồm cả các con số, nên được chấp nhận là có thật là hợp lý bởi sự tổng thể xác nhận. Vì các lý thuyết không được xác nhận theo kiểu từng phần, nhưng nói chung, không có lý do nào để loại trừ bất kỳ thực thể nào được đề cập trong các lý thuyết được xác nhận tốt. Điều này đặt nhà danh nghĩa muốn loại trừ sự tồn tại của các tập hợp và hình học phi Euclide, nhưng bao gồm sự tồn tại của các quark và các thực thể vật lý không thể phát hiện khác, ví dụ, ở một vị trí khó khăn.[30]

Lập luận chống lại chủ nghĩa hiện thực

Các chống hiện thực " tri thức lý luận" chống lại chủ nghĩa Platon đã được thực hiện bởi Paul Benacerraf và Hartry Dòng. Chủ nghĩa Platon cho rằng các đối tượng toán học là các thực thể trừu tượng. Theo thỏa thuận chung, các thực thể trừu tượng không thể tương tác nhân quả với các thực thể vật lý cụ thể ("giá trị thật của các xác nhận toán học của chúng tôi phụ thuộc vào các sự kiện liên quan đến các thực thể Platonic cư trú trong một cõi ngoài không gian" [31]). Mặc dù kiến thức về cụ thể của chúng ta, các đối tượng vật lý dựa trên khả năng nhận thức của chúng, và do đó để tương tác một cách nhân quả với chúng, không có tài khoản song song về cách các nhà toán học có kiến thức về các đối tượng trừu tượng.[32][33][34] Một cách khác để đưa ra quan điểm là nếu thế giới Platonic biến mất, sẽ không có gì khác biệt đối với khả năng của các nhà toán học tạo ra bằng chứng, v.v., vốn đã hoàn toàn chịu trách nhiệm về các quá trình vật lý trong não của họ.

Lĩnh vực phát triển quan điểm của mình thành chủ nghĩa hư cấu. Benacerraf cũng phát triển triết lý của chủ nghĩa cấu trúc toán học, theo đó không có đối tượng toán học. Tuy nhiên, một số phiên bản của chủ nghĩa cấu trúc tương thích với một số phiên bản của chủ nghĩa hiện thực.

Lập luận xoay quanh ý tưởng rằng một tài khoản tự nhiên thỏa đáng về các quá trình suy nghĩ về các quá trình não có thể được đưa ra cho lý luận toán học cùng với mọi thứ khác. Một dòng bảo vệ là để duy trì rằng điều này là sai, do đó lý luận toán học sử dụng một số trực giác đặc biệt liên quan đến việc tiếp xúc với vương quốc Platonic. Một hình thức hiện đại của lập luận này được Sir Roger Penrose đưa ra.[35]

Một cách phòng thủ khác là duy trì các đối tượng trừu tượng có liên quan đến lý luận toán học theo cách không nhân quả và không giống với nhận thức. Lập luận này được phát triển bởi Jerrold Katz trong cuốn sách 2000 Rationalismism.

Một biện pháp bảo vệ triệt để hơn là phủ nhận thực tế vật lý, tức là giả thuyết vũ trụ toán học. Trong trường hợp đó, kiến thức toán học của một nhà toán học là một đối tượng toán học tiếp xúc với nhau.